Mathematikfrage: Warum ist x^0 = 1?

[Yusuke]

Guten Tag zusammen,

ich würde gerne von allen Mathematik affinen Usern und allen Interessierten eine begründete Antwort auf die o.g. Frage wissen? Ich finde die o.g. mathematische Aussage nicht nur irreführend, sondern auch unlogisch von meinem derzeitigen Verständnis.

Warum ist die Aussage x^0 = 1 ? Ist es nicht sinnvoller zu sagen: "keine Lösung"? Was meint ihr?

[ThomasM]

Guten Tag zusammen,

ich würde gerne von allen Mathematik affinen Usern und allen Interessierten eine begründete Antwort auf die o.g. Frage wissen? Ich finde die o.g. mathematische Aussage nicht nur irreführend, sondern auch unlogisch von meinem derzeitigen Verständnis.

Warum ist die Aussage x^0 = 1 ? Ist es nicht sinnvoller zu sagen: "keine Lösung"? Was meint ihr?

Nein, "keine Lösung" ist für x ungleich 0 nicht korrekt.
Für x=0 ist sie korrekt

Für x ungleich 0 gilt:
Nach den Regeln der Exponentialrechnung gilt:
x^0 = x^(a-a) (a beliebig größer 0)
= x^a * x^(-a)
= x^a / (x^a)
= 1
q.e.d

Für x=0 funktioniert der Beweis nicht, da 0^a = 0 (a größer 0) ist und 0/0 nicht definiert ist.

[Yusuke]

Danke für deine Antwort, ThomasM.

Kannst du mir erklären, warum x^0 mit x^(a-) gleichsetzts? Mein Verständnisproblem kommt daher, weil wenn ich für x irgendeinen Wert auswähle, dann erhalte ich nach meinem geistigen Verständnis entweder 0 oder keine Lösung. Das möchte ich an einem Beispiel demonstrieren:

Aus x^0 folgere ich 5^0,wenn ich eine Zahl hier Fünf (5) einsetze. Aufgelöst bedeutet 5^0 für mich "nicht existent", das ist eine Folgerung meines mathematischen Verständnisses von 5^1 = 5 und 5^2 = 5 x 5., daraus folgere ich halt das 5^0 = "keine Lösung" sein kann.

Ein anderes Beispiel wären folgende Rechnungen:
1 x 0 = ?
2 x 0 = ?
3 x 0 = ?

Bei allen drei Rechnungen ist die Lösung, wie wir alle wissen, 0. Das kann ich mir auch logisch an der Wirklichkeit erschließen, da etwas mit "Nichts" multipliziert immer noch "nichts" bleibt. Daher leuchtet mir dein Beispiel nicht so recht ein. :/


Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir da vielleicht nachhelfen.

... 0/0 nicht definiert ist.

Kann man denn 0/0 definieren ohne Probleme zu erzeugen? Für mich ergibt die Aussage 0/0 gar keinen Sinn, da der Ausdruck "Nichts mit nichts multiplizieren finde ich im Term "0² = 0*0".

[Pluto]

Danke für deine Antwort, ThomasM.

Kannst du mir erklären, warum x^0 mit x^(a-) gleichsetzts?

Thomas hat recht.
Was ist an der Erweiterung (a-a) = 0 falsch?

Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir da vielleicht nachhelfen.

Nicht wirklich, nein.

der Ausdruck "Nichts mit nichts multiplizieren finde ich im Term "0² = 0*0".

Wieso?
Das ist völlig Ok: 0x0 = 0

[Yusuke]

Was ist an der Erweiterung (a-a) = 0 falsch?

Du missverstehst mich; ich habe nirgends geschrieben das seine Ansicht falsch ist, tatsächlich glaube ich, dass ihr von Mathematik mehr versteht als ich, deshalb ja das Thema hier, weil ich mit der o.g. Aussage ein Verständnisproblem habe.

Ich verstehe nicht, wie in meinem Beitrag steht, wie:
x^0 mit x^a (a-a) gleichsetzen kann.

Das habe ich versucht mit meinen, scheinbar undeutlichen, Beispielen zeigen wollen. Daher nochmal ein Versuch:

Wenn ich bei dem Term x^0 für x die Zahl fünf (5) einsetze, dann habe ich doch den Term 5^0, oder? Wenn du ja antwortest, dann frage ich mich, wie kann aus 5^0 eine 1 herauskommen?

Edit:

Wieso?
Das ist völlig Ok: 0x0 = 0

Wo ist dann der Unterschied zwischen 0^0 und 0^2?

[Pluto]

Ich verstehe nicht, wie in meinem Beitrag steht, wie:
x^0 mit x^a (a-a) gleichsetzen kann.

Das tut doch Thomas nicht.

Er schrieb:
x^0 = x^(a-a) (a beliebig größer 0)
= x^a * x^(-a)
= x^a / (x^a)
= 1

Wenn ich bei dem Term x^0 für x die Zahl fünf (5) einsetze, dann habe ich doch den Term 5^0, oder? Wenn du ja antwortest, dann frage ich mich, wie kann aus 5^0 eine 1 herauskommen?

Weil a-a = 0

[Yusuke]

Das tut doch Thomas nicht.

Gut, scheinbar bin ich nicht fähig diese Formel zu verstehen und bleibe bei dem 1. Abschnitt stecken. :/

Weil a-a = 0

Verstehe ich auch nicht, beides hängt irgendwie zusammen ... .

Edit: OK, es hat gerade Klick gemacht nachdem ich in die genannte Formel einfach die Zahl 1 für a eingesetzt habe. '

[Pluto]

OK, es hat gerade Klick gemacht nachdem ich in die genannte Formel einfach die Zahl 1 für a eingesetzt habe. '

Ja diese verrückten Mathematiker... Immer verwenden sie Platzhalter, anstatt Zahlen.

[JackSparrow]

Aufgelöst bedeutet 5^0 für mich "nicht existent", das ist eine Folgerung meines mathematischen Verständnisses von 5^1 = 5 und 5^2 = 5 x 5.

Funktioniert trotzdem.

5^2 = 5 x 5
5^1 = 5^2 / 5 = 5
5^0 = 5^1 / 5 = 5 / 5 = 1
=>
0^0 = 0^1 / 0 => error

[ThomasM]

Danke für deine Antwort, ThomasM.

Kannst du mir erklären, warum x^0 mit x^(a-) gleichsetzts? Mein Verständnisproblem kommt daher, weil wenn ich für x irgendeinen Wert auswähle, dann erhalte ich nach meinem geistigen Verständnis entweder 0 oder keine Lösung. Das möchte ich an einem Beispiel demonstrieren:

Aus x^0 folgere ich 5^0,wenn ich eine Zahl hier Fünf (5) einsetze. Aufgelöst bedeutet 5^0 für mich "nicht existent", das ist eine Folgerung meines mathematischen Verständnisses von 5^1 = 5 und 5^2 = 5 x 5., daraus folgere ich halt das 5^0 = "keine Lösung" sein kann.

Ich verstehe dein Problem, was daher kommt, dass du die Potenzrechnung mit Potenzen ganzer Zahlen gelernt hast. Eben
5^1 = 5
5^2 = 5 * 5 = 25
usw.

Mit diesem Konzept ist es schwer auf 5^0 zu kommen.
Denn wieviele 5er soll ich denn multiplizieren, wenn ich 0 Stück aneinanderreihe?

Vielleicht hilt dir folgende Überlegung:
...
5^2=25
5^1=5
5^0=?
5^(-1) = 1/5 = 0.2
5^(-2) = 1/25 = 0.02
usw

Das kannst du auch mit anderen Zahlen probieren und wirst feststellen:
Alle Potenzen mit positiver, ganzzahliger Basis und positiven Exponenten sind größer 1
Alle Potenzen mit positiver, ganzzahliger Basis und negativen Exponenten sind kleiner 1.
Also ist der Übergang natürlicherweise bei 1

Ist das verständlicher?

... 0/0 nicht definiert ist.

Kann man denn 0/0 definieren ohne Probleme zu erzeugen? Für mich ergibt die Aussage 0/0 gar keinen Sinn, da der Ausdruck "Nichts mit nichts multiplizieren finde ich im Term "0² = 0*0".

Wie gesagt, als Ausdruck ist 0/0 nicht definiert.
Aber man hat einen Weg, der ihn definiert, nur dann kommt für Laien das etwas komische Ergebnis heraus "Der Wert von 0/0 hängt davon ab, welchen Weg ich einschlage, ihn zu erreichen"
Das hat mit Grenzwertbildung und Funktionen zu tun.
Das kann ich dir erklären, allerdings wäre das nur sinnvoll, wenn du schon etwas über Grenzwertbildung gelernt hast.
Hast du?