Logik und Erkenntnis

[Claymore]

ich habe nicht behauptet, dass man nichts feststellen kann und schon gar nicht, dass alles gesetzt werden muss

axiome, prämissen stellt man nicht fest sondern setzt sie

der glaube, dass naturgesetze immer und überall gleich sind ist auch eine setzung

kennst du hilbert? hilbert hat die mathematiker aufgerufen zu beweisen, dass sich die mathematik aus sich selbst heraus als widerspruchsfrei konstituieren kann, etwas ähnliches versuchst du...gödel hat gezeigt, dass es nicht geht

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hilbertprogramm

Ich mag das Hiob'sche Wort "Setzungen" nicht. Das hört sich wie ein vom Himmel gefallenes Dogma an und suggeriert: "Da muss was obskures, unbegründetes ganz am Anfang stehen, bevor es überhaupt losgehen kann (mit der Forschung, mit dem Beweisen, mit dem Denken, ...). Etwas, an dem auch keine Kritik möglich ist".

Der Impetus hinter solchen Formulierungen ist doch, allerlei Schwachsinn, solange er nur stringent auf Schwachsinn aufbaut, einen Schein intellektueller Redlichkeit zu verleihen. Philosophia ancilla stultitiae.

Die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen stammen aus dem Jahre 1889 - komplexe Zahlentheorie betrieben wurde schon vorher, und gerechnet sowieso. Im formalen System erscheinen diese Axiome meinetwegen als Setzungen. Aber im menschlichen Denken waren sie doch Resultate jahrtausendelanger Beschäftigung mit den Zahlen. Denn sowas wie das Induktionsaxiom in eine streng logische Form zu bringen, ist gar nicht so einfach.

Aber einfachere Axiome, wie das Kommutativgesetz der Multiplikation, also a ⋅ b = b ⋅ a , kommen nun schon in der Schule vor. Wenn sie ein Schüler nicht begreift, soll dann der Lehrer antworten: "Das ist eine Setzung, da gibt es gar nichts zu verstehen. Das hast du einfach nur zu akzeptieren!"

Das wäre doch die natürliche Konsequenz von Deiner bzw. Hiob's "Philosophie"?

Ich dagegen denke: zwar werden es die meisten Lehrer aus Bequemlichkeit und Unfähigkeit so machen. Aber ein guter, motivierter Lehrer wird dieses Axiom begründen, indem er der rationalen Einsicht auf die Sprünge hilft.

Was wir uns bei dem Axiom denken, ist doch, dass Reihen und Spalten bei regelmäßigen, flächenhaften Rastern 🙾🙾🙾 um 90° gedreht, sich bloß vertauschen. Das Raster bleibt mit all seinen Stücken aber das Gleiche.

Also nehmen wir eine Tafel Schokolade. Ich halte sie queer, dann sind das a Reihen mit jeweils b Stücken. Also a ⋅ b Stücke. Ich halte sie senkrecht: Das sind b Reihen mit jeweils a Stücken. Also b ⋅ a Stücke. Q. E. D. (natürlich nicht im formalen mathematischen Sinne!).

[Thaddäus]

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axiome, prämissen stellt man nicht fest sondern setzt sie
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kennst du hilbert? hilbert hat die mathematiker aufgerufen zu beweisen, dass sich die mathematik aus sich selbst heraus als widerspruchsfrei konstituieren kann, etwas ähnliches versuchst du...gödel hat gezeigt, dass es nicht geht

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Die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen stammen aus dem Jahre 1889 - komplexe Zahlentheorie betrieben wurde schon vorher, und gerechnet sowieso. Im formalen System erscheinen diese Axiome meinetwegen als Setzungen. Aber im menschlichen Denken waren sie doch Resultate jahrtausendelanger Beschäftigung mit den Zahlen. Denn sowas wie das Induktionsaxiom in eine streng logische Form zu bringen, ist gar nicht so einfach.

Hilbert hatte lediglich angenommen, dass die Mathematik vollständig ableitbar und widersruchsfrei sei. Gödel hat bewiesen, dass sie das nicht gleichzeitig sein kann. Damit ist die Frage, ob wir Mathematik und Logik konstruieren oder sie finden noch nicht tangiert.

Jedoch hat Gödel selbst die besten Argumente dafür vorgebracht, dass nicht nur die Axiome der Mathematik - sondern die gesamte Mathematik - keine menschlichen Setzungen und Konstruktionen darstellen können, sondern ein Teil der Wirklichkeit sind, den wir vorfinden und entdecken.

1) Wenn die Mathematik lediglich eine Schöpfung des menschlichen Geistes ist, wie kann es sein, dass dieses - sein eigenes Geschöpf -, sogleich ein widerspenstiges Eigenleben beginnt und seinen Schöpfer mit Widersprüchen und Forderungen konfrontiert?
Offenbar ist der schöpferische Mathematiker augenblicklich am Ende seiner Kreativität angelangt, wenn er sich ein paar Eigenschaften seiner Objekte imaginiert hat. Er ist nicht in der Lage, auch die Stichhaltigkeit und Widerspruchsfreiheit seiner Theoreme zu erschaffen!

2) Wenn mathematische Objekte unsere kreativen Geschöpfe sind, dann sind die ganzen Zahlen und Mengen von ganzen Zahlen offenkundig unterschiedliche Geschöpfe, wobei die ganzen Zahlen keine Mengen ihrer selbst bedürfen. Jedoch können bestimmte Aussagen ganzer Zahlen nur über einen Begriff einer Menge ganzer Zahlen bewiesen werden. Um also die einen ausgedachten Objekte bestimmen zu können, müssen wir uns ganz andere Objekte erst zusätzlich ausdenken!
Das ist ein äußerst merkwüdiger Befund, wenn man davon ausgeht, dass allein wir selbst es sein sollen, die diese Zusammenhänge erst "konstruieren", denn inwiefern kann ein Ausgedachtes ein anderes Ausgedachtes überhaupt beweisen?

Und ein drittes Argument ist das Populärste weil einfachste: Ob die Astronauten in ihrer Kapsel beim Wiedereintritt in die Erdatmosphäre verbrennen oder nicht, hängt davon ab, ob der Wiedereintrittswinkel korrekt berechnet wurde. Ganz abgesehen von der korrekten Berechnung des Aufschlagortes, um die nicht verbrannten Astronauten bergen zu können.
Es ist ganz und gar unverständlich, inwiefern das möglich ist, wenn Mathematik eine bloße Konstruktion und Imagination unseres Geistes sein sollte und keine mathematische Beschreibung der Wirklichkeit, also dessen, was tatsächlich der Fall ist.

[Traja]

ich gebe mal nur zu bedenken, den korrekten wiedereintrittswinkel kann man auch mit newton berechnen...die setzung hier ist, raum und zeit sind absoluten charakters

das gleiche geht auch mit einstein, dass die setzung hier eine andere ist brauche ich wohl nicht zu betonen

tja, was jetzt...im übrigen können sich profimathematiker auch nicht so richtig einigen, was die natur der mathematik ist , hatten wir aber auch schon, platonisten, formalisten und aber auch noch ein paar andere

[Traja]

sieht so aus, dass alle unsere wissenschaftlichen theorien lediglich approximationen zu dem, was hiob ontische (was der fall ist) tatsachen nennt, sind

[Claymore]

sieht so aus, dass alle unsere wissenschaftlichen theorien lediglich approximationen zu dem, was hiob ontische (was der fall ist) tatsachen nennt, sind

Dann wäre wenigstens ein Kontakt zum ominösen Ontischen hergestellt und man müsste annehmen, dass radikale Abweichungen von den naturwissenschaftlichen Ergebnissen unmöglich oder wenigstens sehr unwahrscheinlich sind. D. h. dass unsere Meinung zur Entfernung von Alpha Centauri sich nicht plötzlich radikal ändern muss.

Stattdessen plagen wir uns immer noch mit dem Genius malignus herum.

ich gebe mal nur zu bedenken, den korrekten wiedereintrittswinkel kann man auch mit newton berechnen...die setzung hier ist, raum und zeit sind absoluten charakters

das gleiche geht auch mit einstein, dass die setzung hier eine andere ist brauche ich wohl nicht zu betonen

tja, was jetzt...im übrigen können sich profimathematiker auch nicht so richtig einigen, was die natur der mathematik ist , hatten wir aber auch schon, platonisten, formalisten und aber auch noch ein paar andere

Es ging mir hier nicht um die fundamentale Natur der Mathematik; also ob sie "erfunden" ist oder
entdeckt. Sondern um die Begrifflichkeit der "Setzung", die die völlige Beliebigkeit der ganzen Sache nahelegt. Das Hiob'sche Programm begreife ich daher als einen Versuch, die Philosophie zur Magd der Idiotie zu machen (dass dir das alles wunderbar gefällt, überrascht wenig).

Die Axiome von Euklid sind nicht durch freie, beliebige Setzung zu uns gekommen. Das Parallelenaxiom war ja von Anfang an kontrovers. Ich vermute, dass wir eine intuitive Vorstellung der Geradlinigkeit haben, die sich im Parallelenaxiom niederschlägt. Als Näherung erfahren wir, dass sich z. B. Lichtstrahlen in unseren Raum geradlinig bewegen, daher wurde das Parallelenaxiom irgendwann als gerechtfertigt akzeptiert.

[Thaddäus]

ich gebe mal nur zu bedenken, den korrekten wiedereintrittswinkel kann man auch mit newton berechnen...die setzung hier ist, raum und zeit sind absoluten charakters

das gleiche geht auch mit einstein, dass die setzung hier eine andere ist brauche ich wohl nicht zu betonen

tja, was jetzt...

Was jetzt? Nix jetzt! Newtons und Einsteins Elaborate sind physikalische Modelle, deren Mathematik dieselbe ist mit dem Unterschied, dass die für Einstein nötige wesentlich komplexer ist als die für Newton nötige. Ob Raum und Zeit absolut sind oder relativ ist der Mathematik herzlich egal. Die Mathematik ist ontologisch wesentlich basaler als physikalische Modelle, die die Wirklichkeit annäherungsweise bestimmen. (Aber nicht so basal wie die logischen Grundgesetze).

im übrigen können sich profimathematiker auch nicht so richtig einigen, was die natur der mathematik ist , hatten wir aber auch schon, platonisten, formalisten und aber auch noch ein paar andere

Eigentlich nur die verblendeteren unter den Profimathematikern, die vom Intuitionismus und Konstruktivismus nicht lassen können, weil sie die immer noch für schick halten. Schonmal darüber nachgedacht, warum es nur noch so wenige Intuitionisten gibt? Die Probleme, die er verursacht sind größer als die Vorteile, die er bringt.

[Traja]

also, claymore geht es nicht um die natur der mathematik, thaddäus aber schon...mir geht es darum zu zeigen, dass die fundamente auf denen newton aufbaut andere sind als bei einstein, ich wiederhole mich, bei newton sind raum und zeit absoluten charakters, bei einstein relativen

das ist ein fundamentaler unterschied

[Claymore]

(...)
axiome, prämissen stellt man nicht fest sondern setzt sie
(...)
kennst du hilbert? hilbert hat die mathematiker aufgerufen zu beweisen, dass sich die mathematik aus sich selbst heraus als widerspruchsfrei konstituieren kann, etwas ähnliches versuchst du...gödel hat gezeigt, dass es nicht geht

[..]
Die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen stammen aus dem Jahre 1889 - komplexe Zahlentheorie betrieben wurde schon vorher, und gerechnet sowieso. Im formalen System erscheinen diese Axiome meinetwegen als Setzungen. Aber im menschlichen Denken waren sie doch Resultate jahrtausendelanger Beschäftigung mit den Zahlen. Denn sowas wie das Induktionsaxiom in eine streng logische Form zu bringen, ist gar nicht so einfach.

Hilbert hatte lediglich angenommen, dass die Mathematik vollständig ableitbar und widersruchsfrei sei. Gödel hat bewiesen, dass sie das nicht gleichzeitig sein kann. Damit ist die Frage, ob wir Mathematik und Logik konstruieren oder sie finden noch nicht tangiert.

Ich diskutiere ungern über dieses Thema, da es Laien anzieht wie die Motten das Licht. Jeder, der mal "Gödel, Escher, Bach" gelesen hat, meint, der große Experte für Grundlagen der Mathematik zu sein.

Komplett ahnungslose Amateure, wie Paul, die sich ganz viel auf ihr "Kenntnisse" einbilden - und los geht's mit dem tausendsten überflüssigen Schwafel-Aufguss der "Das bedeutet Gödel"-Debatte.

(Unmöglich, dieses Buch - das gehört wirklich verboten! )

Na gut, also dann. Wir sind ja schon mittendrin.

Was bedeutet hier "vollständig ableitbar"? Da stellt sich doch die Frage: woraus ableitbar?

Es wäre wenig gewonnen, wenn diese Ableitung mit den gleichen umstrittenen Beweismethoden geführt würden, die zu beweisen sind.

Bei Wikipedia liest man von "finiten Methoden", was doch stark nahelegt, dass es hier um eine "unkontroverse" Untermenge von Axiomen und Schlussregeln geht.

@Paul: versuch das mal zu erklären, wo du dich doch soooo darin auskennst!

❃❃

Dein Sprung von solch epistemischen Fragen zu metaphysischen leuchtet mir dazuhin nicht ein. Ist gezeigt, dass mathematische Wahrheit nicht das Gleiche ist wie Beweisbarkeit in einem Axiomensystem, sagt das dann etwas über "das Sein" aus? Doch nur, wenn man "Sein" unbedingt mit Wahrheit oder "was der Fall ist" koppeln will.

Jedoch hat Gödel selbst die besten Argumente dafür vorgebracht, dass nicht nur die Axiome der Mathematik - sondern die gesamte Mathematik - keine menschlichen Setzungen und Konstruktionen darstellen können, sondern ein Teil der Wirklichkeit sind, den wir vorfinden und entdecken.

1) Wenn die Mathematik lediglich eine Schöpfung des menschlichen Geistes ist, wie kann es sein, dass dieses - sein eigenes Geschöpf -, sogleich ein widerspenstiges Eigenleben beginnt und seinen Schöpfer mit Widersprüchen und Forderungen konfrontiert?

Das kriegen Programmierer auch gut hin.

2) Wenn mathematische Objekte unsere kreativen Geschöpfe sind, dann sind die ganzen Zahlen und Mengen von ganzen Zahlen offenkundig unterschiedliche Geschöpfe, wobei die ganzen Zahlen keine Mengen ihrer selbst bedürfen. Jedoch können bestimmte Aussagen ganzer Zahlen nur über einen Begriff einer Menge ganzer Zahlen bewiesen werden. Um also die einen ausgedachten Objekte bestimmen zu können, müssen wir uns ganz andere Objekte erst zusätzlich ausdenken!
Das ist ein äußerst merkwüdiger Befund, wenn man davon ausgeht, dass allein wir selbst es sein sollen, die diese Zusammenhänge erst "konstruieren", denn inwiefern kann ein Ausgedachtes ein anderes Ausgedachtes überhaupt beweisen?

Verstehe ich nicht, also den letzten Satz. Sagen wir, Mengen werden verwendet, um einen Satz über ganze Zahlen zu formulieren - woher weiß man, dass Mengen dafür wirklich notwendig sind? Kann man denn das beweisen? Ein Vertreter des Fiktionalismus vergleicht das vielleicht mit Crossover.

Und ein drittes Argument ist das Populärste weil einfachste: Ob die Astronauten in ihrer Kapsel beim Wiedereintritt in die Erdatmosphäre verbrennen oder nicht, hängt davon ab, ob der Wiedereintrittswinkel korrekt berechnet wurde. Ganz abgesehen von der korrekten Berechnung des Aufschlagortes, um die nicht verbrannten Astronauten bergen zu können.
Es ist ganz und gar unverständlich, inwiefern das möglich ist, wenn Mathematik eine bloße Konstruktion und Imagination unseres Geistes sein sollte und keine mathematische Beschreibung der Wirklichkeit, also dessen, was tatsächlich der Fall ist.

Das Gegenargument wäre, dass es Paradoxien wie das Banach-Tarski-Paradoxon gibt. Oh je, das kommt sicher auch in diesem verfluchten Buch vor!

[Traja]

ähm, ist schon vierzig jahre her dass ich höhere mathematik 1-4 gehört habe, hab die details nicht mehr im kopf...ich guck mal, irgendwo habe ich auch bronstein und semendjajew in der ecke liegen

wenn es um physik geht kann ich auch alonso und finn rauskramen

und noch was, gödel hat auch einen ontologischen gottesbeweis geführt

[Claymore]

ähm, ist schon vierzig jahre her dass ich höhere mathematik 1-4 gehört habe, hab die details nicht mehr im kopf...ich guck mal, irgendwo habe ich auch bronstein und semendjajew in der ecke liegen

wenn es um physik geht kann ich auch alonso und finn rauskramen

Ist ja toll, dass du weißt, was 'nen Eigenvektor ist, oder 'ne Differenzialgleichung lösen kannst. Das hilft dir aber nicht darüber hinweg, dass du vollständig ahnungslos auf dem Gebiet der Grundlagen der Mathematik bist, und du allein nur deine Lesefrüchte aus diesem verdammten Buch "Gödel, Escher, Bach" weitergibst.

Denn Modelltheorie ist ein sehr fortgeschrittenes Thema - das schlägt man nicht mal so "im Bronstein nach".

Genauso ist allgemeine Relativitätstheorie eine Spezialvorlesung, die von den abgeschlossenen Physik-Mastern wie viele gehört haben? Vielleicht 10 % ?

Ich bin auch mal auf die Schneekoppe gestiegen, aber vergleich mich nicht mit Reinhold Messner.